.

.

ตะลุยโจทย์คณิตสอบเข้า ม.1 (ภาค 3) : ข้อที่ 58

  

ข้อที่ 58.


รูปประกอบด้วยรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า(เส้นประ) กับส่วนโค้งของวงกลมหกส่วน (เส้นทึบ) ซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่แต่ละมุมของรูปหกเหลี่ยม จุดปลายของส่วนโค้งทุกเส้นอยู่บนด้านของรูปหกเหลี่ยม

- ส่วนโค้งภายนอกรูปหกเหลี่ยม เป็นส่วนโค้งของวงกลมรัศมี 2 หน่วย

- ส่วนโค้งภายในรูปหกเหลี่ยม เป็นส่วนโค้งของวงกลมรัศมี 3 หน่วย

     

ความยาวรอบรูปของพื้นที่ส่วนสีฟ้า(ความยาวเส้นทึบ) เท่ากับกี่หน่วย (ข้อสอบ Pre-test เข้า ม.1 , โรงเรียนเทพศิรินทร์, 17 ธค. 2560)

1. 12p

2. 14p

3. 15p

4. 16p


Q : โห...อ่านโจทย์แล้วมึนเลยค่ะ

A : ใจเย็นๆ ครับ การอ่านโจทย์อย่างพินิจพิเคราะห์ เป็นส่วนสำคัญอันดับแรกของการทำโจทย์เลยครับ


Q : งือ...ก็ได้

     โจทย์บอกว่ามีวงกลม 6 ส่วน ที่มีเส้นผ่าศูนย์กลางอยู่ที่ยอดของหกเหลี่ยมด้านเท่า โดยส่วนโค้งที่อยู่ภายในหกเหลี่ยม เป็นส่วนโค้งของวงกลมรัศมี 3 หน่วย แล้วส่วนโค้งภายนอกรูปหกเหลี่ยม เป็นส่วนโค้งของวงกลมรัศมี 2 หน่วย

A : ดีเลยครับ ทีนี้พอจะจินตนาการต่อไปได้ไหมครับ


Q : ...(ส่ายหัวไปมา)

A : งั้น ผมวาดรูปให้ดูนะครับ

     

     นี่ครับ วงกลม 6 วง ที่โจทย์พูดถึง มีหน้าตาเป็นแบบนี้ครับ


Q : ... (ทำตาลุกวาว)

     มีวงกลมซ่อนอยู่ในโจทย์จริงๆ ด้วย โดยวงที่มีสีฟ้าอยู่นอกหกหลี่ยม มีรัศมีเท่ากับ 2 หน่วย

     ส่วนวงกลมสีขาวที่อยู่ในหกเหลี่ยมมีรัศมีเท่ากับ 3 หน่วย

     แต่รู้แค่นี้แล้วเราจะหาความยาวของเส้นโค้งทึบๆ ได้อย่างไงคะ

A : เดี๋ยวผมจะทำให้ดูนะครับ


    

Q : อ้อ... ตอนนี้เราก็หาความยาวของเส้นสีแดงทึบๆ ที่อยู่ในหกเหลี่ยมได้แล้วว่ามีค่าเท่ากับ 2p

      ซึ่งเจ้าเส้นโค้งๆ นี้มาจากวงกลมใหญ่ 3 วง ดังนั้นส่วนโค้งของทั้ง 3 โค้งจึงเท่ากับ 3x2p = 6p

A : ใช่แล้วครับ ทีนี้ก็ลองหาส่วนโค้งของวงกลมเล็กที่อยู่นอกหกเหลี่ยมหน่อยซิครับ


Q : ก็ไม่ยากแล้วค่ะ เพราะเราก็ใช้หลักการเดียวกัน โดยพิจารณาวงกลมที่มีพื้นที่สีฟ้า

     เราก็จะพบว่า เส้นรอบวงของวงกลมสีฟ้า จะเท่ากับ 2pr โดยโจทย์บอกว่า r มีค่าเท่ากับ 2 หน่วย

     ดังนั้น เส้นรอบวงจะเท่ากับ 4 p

     ทีนี้ เราก็รู้ว่า มุมภายในของวงกลมเท่ากับ 360 องศา ในขณะที่มุมภายในของหกเหลี่ยมด้านเท่าแต่ละมุมเท่ากับ 120 องศา

     ดังนั้น มุมภายนอกของหกเหลี่ยมนี้แต่ละมุมจึงเท่ากับ 360-120 = 240 องศา


     ดังนั้นความยาวของเส้นทึบของวงกลมสีฟ้า จึงหาได้โดยการเทียบบัญญัติไตรยางค์

                 มุม 360 องศา มีเส้นรอบวงเท่ากับ 4p

                 มุม 240 องศา มีเส้นรอบวงเท่ากับ 4p/360 x 240

                                                          = 8p/3

     วงสีฟ้ามี 3 วง ดังนั้น เส้นรอบรูปส่วนที่อยู่นอกหกเหลี่ยมจึงเท่ากับ 8p/3 x 3 = 8p 


    เมื่อเป็นอย่างนี้ เส้นทึบที่โจทย์ต้องการทราบก็เท่ากับ 6p + 8p  = 14p  ใช่ไหมคะ


A : ใช่แล้วครับ คำตอบข้อนี้คือข้อ 2. ครับ